Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $x^{2} + 2 x - 3$ и $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $x^{2} + 2 x - 3$ и $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 2 x - 3$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} + 2 x - 3$ .

$x^{2} + 2 x - 3$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Этап 5.2

Разложим $x^{2} + 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, - 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, - 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 (1) + 2$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2$

Этап 9.2

Добавим $2$ и $2$ .

$4$

Этап 10

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Этап 11.2.1.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Этап 11.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 \cdot 1 - 8$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 8$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - 3 - 8$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 3 - 8$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 3 - 8$

Этап 11.2.2.4

Запишем $- 3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3}{1} - 8$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8$

Этап 11.2.2.6

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} - 8$

Этап 11.2.2.7

Запишем $- 8$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1}$

Этап 11.2.2.8

Умножим $\frac{- 8}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2.2.9

Умножим $\frac{- 8}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 3 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 9 - 8 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 8$ на $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 9 - 24}{3}$

Этап 11.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Добавим $1$ и $3$ .

$f (1) = \frac{4 - 9 - 24}{3}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $9$ из $4$ .

$f (1) = \frac{- 5 - 24}{3}$

Этап 11.2.5.3

Вычтем $24$ из $- 5$ .

$f (1) = \frac{- 29}{3}$

Этап 11.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1) = - \frac{29}{3}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{29}{3}$ .

$y = - \frac{29}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 (- 3) + 2$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 + 2$

Этап 13.2

Добавим $- 6$ и $2$ .

$- 4$

Этап 14

$x = - 3$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 3$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot - 27 + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Этап 15.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 9)) + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Этап 15.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 9) + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Этап 15.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 3) = - 9 + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Этап 15.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 - 3 \cdot - 3 - 8$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 + 9 - 8$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (- 3) = 0 + 9 - 8$

Этап 15.2.2.2

Добавим $0$ и $9$ .

$f (- 3) = 9 - 8$

Этап 15.2.2.3

Вычтем $8$ из $9$ .

$f (- 3) = 1$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$ .

$(1, - \frac{29}{3})$ — локальный минимум

$(- 3, 1)$ — локальный максимум

Этап 17