Математический анализ Примеры

$lim_{n \to \infty} \frac{4 n^{2}}{n^{2} + 10000 n}$

Этап 1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$4 lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{n^{2} + 10000 n}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $n$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $n^{2}$ .

$4 lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $n$ и $n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $n$ из $10000 n$ .

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{n \cdot 10000}{n^{2}}}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вынесем множитель $n$ из $n^{2}$ .

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{n \cdot 10000}{n \cdot n}}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{n \cdot 10000}{n \cdot n}}$

Этап 3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{10000}{n}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $\infty$ .

$4 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{10000}{n}}$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $\infty$ .

$4 \frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{10000}{n}}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $\infty$ .

$4 \frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{10000}{n}}$

Этап 3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $\infty$ .

$4 \frac{1}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{10000}{n}}$

Этап 3.7

Вынесем член $10000$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$4 \frac{1}{1 + 10000 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{n}$ стремится к $0$ .

$4 \frac{1}{1 + 10000 \cdot 0}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $10000$ на $0$ .

$4 \frac{1}{1 + 0}$

Этап 5.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{1}{1})$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4$