Математический анализ Примеры

$\frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$

Этап 1

Запишем $\frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{5}{x} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{1}{x} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$5 (\ln (| x |) + C) + \int \sqrt{x^{3}} d x$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9

Упростим.

$5 \ln (| x |) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $5 \ln (| x |) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$