Математический анализ Примеры

$x \log (x)$

Этап 1

Запишем $x \log (x)$ в виде функции.

$f (x) = x \log (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \log (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \log (x)$ и $d v = x$ .

$\log (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\log (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Этап 5.2

Объединим $\log (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x \ln (10)} d x)$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (10)} d x)$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (10)$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))} d x)$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (10)} d x)$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (10)} d x)$

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (10)} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{\ln (10)}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{\ln (10)}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (10)} \int x d x)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{\ln (10)}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{\ln (10) \cdot 2} \int x d x$

Этап 9.2

Перенесем $2$ влево от $\ln (10)$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \int x d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (x)$ .

$\frac{\log (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 11.2.2

Объединим $\frac{\log (x)}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 11.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 (2 \ln (10))} x^{2} + C$

Этап 11.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$

Этап 11.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{4 \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4 \ln (10)} + C$

Этап 11.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \log (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$