Математический анализ Примеры

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $t$ было равно $1$ .

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t = 7 (\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t - \sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t)$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t = \sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 \sum_{t = 1}^{9} t$

Этап 2.2

Найдем значение $\sum_{t = 1}^{9} t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.2.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Этап 2.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Этап 2.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Этап 2.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Этап 2.2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Этап 2.2.3.2.2

Добавим $9$ и $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Этап 2.2.3.2.4

Добавим $18$ и $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Этап 2.2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Умножим $30$ на $19$ .

$\frac{570}{2}$

Этап 2.2.3.3.2

Разделим $570$ на $2$ .

$285$

Этап 2.3

Найдем значение $7 \sum_{t = 1}^{9} t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 7) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Добавим $9$ и $1$ .

$- 7 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $9$ на $10$ .

$- 7 (\frac{90}{2})$

Этап 2.3.3.3

Разделим $90$ на $2$ .

$- 7 \cdot 45$

Этап 2.3.3.4

Умножим $- 7$ на $45$ .

$- 315$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$285 - 315$

Этап 2.5

Вычтем $315$ из $285$ .

$- 30$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $t$ .

$1^{2} - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Этап 3.2.2

Умножим $- 7$ на $1$ .

$1 - 7 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Этап 3.2.3

Вычтем $7$ из $1$ .

$- 6 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Этап 3.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 6 + 4 - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Этап 3.2.5

Умножим $- 7$ на $2$ .

$- 6 + 4 - 14 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Этап 3.2.6

Вычтем $14$ из $4$ .

$- 6 - 10 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Этап 3.2.7

Вычтем $10$ из $- 6$ .

$- 16 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

Этап 3.2.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 16 + 9 - 7 \cdot 3$

Этап 3.2.9

Умножим $- 7$ на $3$ .

$- 16 + 9 - 21$

Этап 3.2.10

Вычтем $21$ из $9$ .

$- 16 - 12$

Этап 3.2.11

Вычтем $12$ из $- 16$ .

$- 28$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$7 (- 30 + 28)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $- 30$ и $28$ .

$7 \cdot - 2$

Этап 5.2

Умножим $7$ на $- 2$ .

$- 14$