Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 4 x} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{1}{x (x - 4)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x - 4)$ .

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 1.1.6.1.2

Разделим $A (x - 4)$ на $1$ .

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 1.1.6.3

Перенесем $- 4$ влево от $A$ .

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 1.1.6.4

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 1.1.6.4.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

Этап 1.1.7

Перенесем $- 4 A$ .

$1 = A x + B x - 4 A$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 4 A$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = - 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2

Разделим каждый член $- 4 A = 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 4 A = 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Этап 1.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- \frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{1}{4} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{4} + B = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 1.3.3.2

Добавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям уравнения.

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Этап 1.5.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Этап 1.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Этап 1.5.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{x - 4}$ .

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 7

Пусть $u = x - 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 7.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 2 - 4$

Этап 7.3

Вычтем $4$ из $2$ .

$u_{lower} = - 2$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Этап 7.5

Вычтем $4$ из $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Этап 7.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $3$ и в $2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

Этап 9.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Этап 9.3

Избавимся от скобок.

$- \frac{1}{4} (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Этап 10.2

Объединим $\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Этап 10.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Этап 11.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Этап 11.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{4}$

Этап 11.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.27465307 \dots$

Этап 13