Математический анализ Примеры

$- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$

Этап 1

Запишем $- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ в виде функции.

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{3} x^{6}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$- \frac{1}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 6}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.2.5

Объединим $\frac{- 6}{3}$ и $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.2.6

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.2.6.2.4

Разделим $- 2 x^{5}$ на $1$ .

$- 2 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{5}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 2 x^{5} - 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Этап 2.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- \frac{15}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{15}{2} x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} (4 x^{3})$

Этап 2.1.4.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 4 (\frac{15}{2}) x^{3}$

Этап 2.1.4.4

Объединим $- 4$ и $\frac{15}{2}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 15}{2} x^{3}$

Этап 2.1.4.5

Умножим $- 4$ на $15$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60}{2} x^{3}$

Этап 2.1.4.6

Объединим $\frac{- 60}{2}$ и $x^{3}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60 x^{3}}{2}$

Этап 2.1.4.7

Сократим общий множитель $- 60$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 60 x^{3}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2}$

Этап 2.1.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 (1)}$

Этап 2.1.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 30 x^{3}}{1}$

Этап 2.1.4.7.2.4

Разделим $- 30 x^{3}$ на $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{5}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $5$ на $- 2$ .

$- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{4}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 10 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 10 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Этап 2.2.3.3

Умножим $4$ на $- 15$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Этап 2.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $- 30$ является константой относительно $x$ , производная $- 30 x^{3}$ по $x$ равна $- 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 (3 x^{2})$

Этап 2.2.4.3

Умножим $3$ на $- 30$ .

$f'' (x) = - 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 10 x^{2}$ из $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $- 10 x^{2}$ из $- 10 x^{4}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 10 x^{2}$ из $- 60 x^{3}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 90 x^{2} = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $- 10 x^{2}$ из $- 90 x^{2}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $- 10 x^{2}$ из $- 10 x^{2} (x^{2}) - 10 x^{2} (6 x)$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $- 10 x^{2}$ из $- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} (9)$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 3.2.2.3

Перепишем многочлен.

$- 10 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 3.5.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 3$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{3}) - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $- \frac{15}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 (\frac{15}{2})$

Этап 4.1.2.1.6.2

Умножим $0$ на $\frac{15}{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $- 3$ в $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{6} - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $6$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (243)) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 243) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- 3) = - 1 \cdot 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $243$ .

$f (- 3) = - 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 3$ на ${(- 3)}^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Умножим $- 3$ на ${(- 3)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $1$ .

$f (- 3) = - 243 + (- 3) {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{1 + 5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Добавим $1$ и $5$ .

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{6} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $- 3$ в степень $6$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Этап 4.3.2.1.6

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot 81$

Этап 4.3.2.1.7

Умножим $- \frac{15}{2} \cdot 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.7.1

Умножим $81$ на $- 1$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - 81 (\frac{15}{2})$

Этап 4.3.2.1.7.2

Объединим $- 81$ и $\frac{15}{2}$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 81 \cdot 15}{2}$

Этап 4.3.2.1.7.3

Умножим $- 81$ на $15$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 1215}{2}$

Этап 4.3.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{1215}{2}$

Этап 4.3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Запишем $- 243$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} + 729 - \frac{1215}{2}$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $\frac{- 243}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} \cdot \frac{2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

Этап 4.3.2.2.3

Умножим $\frac{- 243}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

Этап 4.3.2.2.4

Запишем $729$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} - \frac{1215}{2}$

Этап 4.3.2.2.5

Умножим $\frac{729}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1215}{2}$

Этап 4.3.2.2.6

Умножим $\frac{729}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729 \cdot 2}{2} - \frac{1215}{2}$

Этап 4.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

Этап 4.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Умножим $- 243$ на $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

Этап 4.3.2.4.2

Умножим $729$ на $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 1458 - 1215}{2}$

Этап 4.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Добавим $- 486$ и $1458$ .

$f (- 3) = \frac{972 - 1215}{2}$

Этап 4.3.2.5.2

Вычтем $1215$ из $972$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{2}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 3) = - \frac{243}{2}$

Этап 4.3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{243}{2}$ .

$- \frac{243}{2}$

Этап 4.4

Подставляя $- 3$ в $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ , найдем точку $(- 3, - \frac{243}{2})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 3, - \frac{243}{2})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- 3, - \frac{243}{2})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 10 {(- 3.1)}^{4} - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 3.1$ в степень $4$ .

$f'' (- 3.1) = - 10 \cdot 92.3521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 10$ на $92.3521$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 3.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 \cdot - 29.791 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 60$ на $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $- 3.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 \cdot 9.61$

Этап 6.2.1.6

Умножим $- 90$ на $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 864.9$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 923.521$ и $1787.46$ .

$f'' (- 3.1) = 863.939 - 864.9$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $864.9$ из $863.939$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.961$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.961$ .

$- 0.961$

Этап 6.3

При $- 3.1$ вторая производная имеет вид $- 0.961$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 3)$ .

Убывание на $(- \infty, - 3)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 3, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{3^{4}}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{81}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- 5) (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 5 (\frac{81}{8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.7

Объединим $- 5$ и $\frac{81}{8}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 5 \cdot 81}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.8

Умножим $- 5$ на $81$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.10.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.10.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.12

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.13

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.14

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.14.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{8}$ в числитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.14.2

Вынесем множитель $4$ из $- 60$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 (- 15) (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.14.3

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.14.4

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.14.5

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 15 (\frac{- 27}{2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.15

Объединим $- 15$ и $\frac{- 27}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{- 15 \cdot - 27}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.16

Умножим $- 15$ на $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Этап 7.2.1.17

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.17.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Этап 7.2.1.17.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Этап 7.2.1.18

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Этап 7.2.1.19

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Этап 7.2.1.20

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{9}{2^{2}}$

Этап 7.2.1.21

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (\frac{9}{4})$

Этап 7.2.1.22

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.22.1

Вынесем множитель $2$ из $- 90$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 (- 45) (\frac{9}{4})$

Этап 7.2.1.22.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

Этап 7.2.1.22.3

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

Этап 7.2.1.22.4

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 45 (\frac{9}{2})$

Этап 7.2.1.23

Объединим $- 45$ и $\frac{9}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 45 \cdot 9}{2}$

Этап 7.2.1.24

Умножим $- 45$ на $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 405}{2}$

Этап 7.2.1.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - \frac{405}{2}$

Этап 7.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{405 - 405}{2}$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $405$ из $405$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{0}{2}$

Этап 7.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{0}{2}$

Этап 7.2.3.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 0$

Этап 7.2.4

Добавим $- \frac{405}{8}$ и $0$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{405}{8}$ .

$- \frac{405}{8}$

Этап 7.3

При $- \frac{3}{2}$ вторая производная имеет вид $- 50.625$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 3, 0)$ .

Убывание на $(- 3, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 10 {(0.1)}^{4} - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $4$ .

$f'' (0.1) = - 10 \cdot 0.0001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 10$ на $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $0.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 \cdot 0.001 - 90 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $- 60$ на $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 {(0.1)}^{2}$

Этап 8.2.1.5

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 \cdot 0.01$

Этап 8.2.1.6

Умножим $- 90$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 0.9$

Этап 8.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $0.06$ из $- 0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.061 - 0.9$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $0.9$ из $- 0.061$ .

$f'' (0.1) = - 0.961$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 0.961$ .

$- 0.961$

Этап 8.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.961$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, \infty)$ .

Убывание на $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. На графике нет точек, удовлетворяющих этим требованиям.

Нет точек перегиба