Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (4 x - 3)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cos (4 x - 3) d x$

Этап 3

Пусть $u = 4 x - 3$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 4 x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $4 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Этап 4

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 3$ .

$\frac{1}{4} \sin (4 x - 3) + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cos (4 x - 3)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sin (4 x - 3) + C$