Математический анализ Примеры

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\int 4 u \sin (u) d u$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int u \sin (u) d u$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = \sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Этап 6.2

Умножим $\int \cos (u) d u$ на $1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Этап 7

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Этап 8

Перепишем $4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ в виде $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\cos (\frac{x}{2})$ и $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ в числитель.

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Этап 10.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Этап 10.3.4

Перепишем это выражение.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Этап 10.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Этап 10.5

Изменим порядок множителей в $- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$