Математический анализ Примеры

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + \tan (x)$ и $g (x) = 1 + \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $1 + \cot (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 5

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) + 1 (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 6.2

Умножим $1 + \tan (x)$ на $1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.6

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.7

Сократим общий множитель $\cos (x)$ и $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.7.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\sin (x) \cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.7.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\sin (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\sin (x) \cos (x))} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\sin (x) \cos (x))} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.8

Разделим дроби.

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.9

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.10

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.11

Умножим $\csc^{2} (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.12

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.13

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.14

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.15

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.16

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.17

Сократим общий множитель $\sin (x)$ и $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.17.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.17.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.18

Разделим дроби.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.19

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.1.20

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.2

Изменим порядок множителей в $\sec (x) \csc (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.3.3

Добавим $\csc (x) \sec (x)$ и $\csc (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2 \csc (x) \sec (x) + \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Переставляем члены.

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \csc (x) \sec (x) = 2 \cdot \sec (x) \cdot \csc (x)$

Этап 7.5.3

Перепишем многочлен.

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \cdot \sec (x) \cdot \csc (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Этап 7.5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = \sec (x)$ и $b = \csc (x)$ .

$\frac{{(\sec (x) + \csc (x))}^{2}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$