Математический анализ Примеры

$\int {(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = {(2 x + 3)}^{2}$ и $d v = e^{x + 1}$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - \int e^{x + 1} (8 x + 12) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = 8 x + 12$ и $d v = e^{x + 1}$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int e^{x + 1} \cdot 8 d x)$

Этап 3

Перенесем $8$ влево от $e^{x + 1}$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int 8 e^{x + 1} d x)$

Этап 4

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - (8 \int e^{x + 1} d x))$

Этап 5

Умножим $8$ на $- 1$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{x + 1} d x)$

Этап 6

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{u} d u)$

Этап 7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем ${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$ в виде $(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$ .

$(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $2 x + 3$ в степень $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

Этап 8.2.2

Возведем $2 x + 3$ в степень $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

Этап 8.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

Этап 8.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{x + 1}) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1}) - (- 8 e^{x + 1}) + C$

Этап 10.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1} + C$

Этап 10.3

Изменим порядок множителей в $- (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1}$ .

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - e^{x + 1} (8 x + 12) + 8 e^{x + 1} + C$