Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{3}{2}} \frac{- x - 3}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3}{2}} - x - 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Этап 3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + x + 1}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 1}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 1}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{3}{2}} x - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{3}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3}{2}$ для $x$ .

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3}{2}$ для $x$ .

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 1}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3}{2}$ для $x$ .

$\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $\frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}{{(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1}$

Этап 8.1.2

Объединим.

$\frac{2 (- \frac{3}{2} - 1 \cdot 3)}{2 ({(\frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} + 1)}$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- \frac{3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Этап 8.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$\frac{2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\frac{- 3}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1}$

Этап 8.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 + 2 (- 1 \cdot 3)}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $2 (- 1 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 + 2 \cdot - 3}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Этап 8.4.1.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 - 6}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Этап 8.4.2

Вычтем $6$ из $- 3$ .

$\frac{- 9}{2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Этап 8.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 3 + 2 \cdot 1}$

Этап 8.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{2}$ .

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2 \cdot 2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Этап 8.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9}{2 \frac{3^{2}}{2 \cdot 2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Этап 8.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 9}{\frac{3^{2}}{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Этап 8.5.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 + 2 \cdot 1}$

Этап 8.5.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 + 2}$

Этап 8.5.5

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} + 2}$

Этап 8.5.6

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{9}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} + 2}$

Этап 8.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 9}{\frac{9 + 3 \cdot 2}{2} + 2}$

Этап 8.5.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.8.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- 9}{\frac{9 + 6}{2} + 2}$

Этап 8.5.8.2

Добавим $9$ и $6$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + 2}$

Этап 8.5.9

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 8.5.10

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{\frac{15}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 8.5.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 9}{\frac{15 + 2 \cdot 2}{2}}$

Этап 8.5.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.12.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 9}{\frac{15 + 4}{2}}$

Этап 8.5.12.2

Добавим $15$ и $4$ .

$\frac{- 9}{\frac{19}{2}}$

Этап 8.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 9 (\frac{2}{19})$

Этап 8.7

Умножим $- 9 (\frac{2}{19})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{19}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{19}$

Этап 8.7.2

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{- 18}{19}$

Этап 8.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{18}{19}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{18}{19}$

Десятичная форма:

$- 0.94736842 \dots$