Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{16 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}}}{3} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{16}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{16}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 2.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 - 2 x$ .

$u_{lower} = 3 - 2 \cdot 1$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 - 2 x$ .

$u_{upper} = 3 - 2 \cdot 2$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 3.2

Объединим $u^{\frac{5}{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} - \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{16}{3} (- \int_{1}^{- 1} \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u)$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{16}{3} (- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{16}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{16}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $16$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- \frac{2 (8)}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{8}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{5}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ .

$- \frac{8}{3} \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}]_{1}^{- 1}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ в $- 1$ и в $1$ .

$- \frac{8}{3} ((\frac{3}{8} {(- 1)}^{\frac{8}{3}}) - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Этап 8.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Этап 8.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Этап 8.2.4

Возведем $- 1$ в степень $8$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Этап 8.2.5

Умножим $\frac{3}{8}$ на $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Этап 8.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1)$

Этап 8.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8})$

Этап 8.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 3}{8}$

Этап 8.2.9

Вычтем $3$ из $3$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{8}$

Этап 8.2.10

Сократим общий множитель $0$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.10.1

Вынесем множитель $8$ из $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 (0)}{8}$

Этап 8.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.10.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Этап 8.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Этап 8.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Этап 8.2.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot 0$

Этап 8.2.11

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{8}{3})$

Этап 8.2.12

Умножим $0$ на $\frac{8}{3}$ .

$0$

Этап 9