Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} d x$

Этап 3

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ в $\sec^{2} (5 x)$ .

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{6}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{6}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 6

Пусть $u_{1} = 4 x + 2$ . Тогда $d u_{1} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = 4 x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $4 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 2]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $4 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 6.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 6.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 6.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 7.2

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{4 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{4 \cdot 5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9.1.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{6}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $6$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3)}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9.2.2

Вынесем ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{3}{10} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9.2.3

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 9.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{1}$ имеет вид $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Этап 11

Пусть $u_{2} = 5 x$ . Тогда $d u_{2} = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = 5 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 11.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 11.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Этап 12

Объединим $\sec^{2} (u_{2})$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{5} d u_{2}$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 14

Поскольку производная $\tan (u_{2})$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ , интеграл $\sec^{2} (u_{2})$ равен $\tan (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} (\tan (u_{2}) + C)$

Этап 15

Упростим.

$\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

Этап 16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x + 2$ .

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

Этап 16.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$