Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x}}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$5 \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 5.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 5.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$5 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$5 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 5.3.3

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{x}}$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}}$

Этап 7

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$5 \cdot 4 \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 7.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 7.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 7.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 7.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 7.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 7.3.3

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x}}$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Этап 9

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 9.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 9.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 9.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 9.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 9.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 9.3.3

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

Этап 10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Этап 11

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 11.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 11.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 11.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

Этап 11.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 11.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 11.3.3

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Этап 12

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{x}}$ стремится к $0$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Этап 13

Умножим $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $5$ на $4$ .

$20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Этап 13.2

Умножим $20$ на $3$ .

$60 \cdot 2 \cdot 0$

Этап 13.3

Умножим $60$ на $2$ .

$120 \cdot 0$

Этап 13.4

Умножим $120$ на $0$ .

$0$