Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x)}{\sin (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Умножим $\frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{x (\frac{\sin (x)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \frac{\sin (x)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{\sin (x)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x) + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 6

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) + x (- \ln (x) \cos (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\sin (x) - x \ln (x) \cos (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{- x \cos (x) \ln (x) + \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x)) + \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin (x)$ .

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x)) - 1 (- \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \cos (x) \ln (x)) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{- (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 7.6

Перепишем $- (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))$ в виде $- 1 (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (x \cos (x) \ln (x) - \sin (x))}{x \sin^{2} (x)}$

Этап 7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x \cos (x) \ln (x) - \sin (x)}{x \sin^{2} (x)}$