Математический анализ Примеры

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{5}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{3} x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 4$ на $5$ .

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.2.6

Объединим $\frac{- 20}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.3.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.3.4

Объединим $\frac{5}{4}$ и $x^{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Этап 1.4

Поскольку $\frac{4}{15}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{15}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ и $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{5}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x^{4}}{4}$ по $x$ равна $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.3

Объединим $4$ и $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.4

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{20}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.6

Сократим общий множитель $20$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.2.6.2.4

Разделим $5 x^{3}$ на $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{20}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{20 x^{3}}{3}$ по $x$ равна $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

Этап 2.3.4

Объединим $- 3$ и $\frac{20}{3}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Этап 2.3.5

Умножим $- 3$ на $20$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

Этап 2.3.6

Объединим $\frac{- 60}{3}$ и $x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

Этап 2.3.7

Сократим общий множитель $- 60$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 60 x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

Этап 2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Этап 2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

Этап 2.3.7.2.4

Разделим $- 20 x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$