Математический анализ Примеры

$- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

Этап 1

Запишем $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{6} x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.5

Объединим $\frac{- 4}{6}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $- \frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 x^{3}}{3}$ по $x$ равна $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.4

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.5

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.6

Объединим $\frac{- 6}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.7

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.7.2.4

Разделим $- 2 x^{2}$ на $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 2$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x^{2} + 2$ .

$- 2 x^{2} + 2$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x^{2} + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} = - 2$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = - 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $- 2$ на $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 3.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ в $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot 1 + {(1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{6} + {(1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - \frac{1}{6} + 1$

Этап 4.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Этап 4.1.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $- 1$ и $6$ .

$f (1) = \frac{5}{6}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Этап 4.2

Подставляя $1$ в $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ , найдем точку $(1, \frac{5}{6})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(1, \frac{5}{6})$

Этап 4.3

Подставим $- 1$ в $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Перенесем ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2

Умножим ${(- 1)}^{4}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.3

Добавим $4$ и $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + {(- 1)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + 1$

Этап 4.3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Этап 4.3.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Этап 4.3.2.2.3

Добавим $- 1$ и $6$ .

$f (- 1) = \frac{5}{6}$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Этап 4.4

Подставляя $- 1$ в $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ , найдем точку $(- 1, \frac{5}{6})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, \frac{5}{6})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(1, \frac{5}{6}), (- 1, \frac{5}{6})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 2 {(- 1.1)}^{2} + 2$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.42 + 2$

Этап 6.2.2

Добавим $- 2.42$ и $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.42$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.42$ .

$- 0.42$

Этап 6.3

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $- 0.42$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 2$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f'' (0) = 2$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 7.3

При $0$ вторая производная имеет вид $2$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 1, 1)$ .

Возрастание в области $(- 1, 1)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.1$ .

$f'' (1.1) = - 2 {(1.1)}^{2} + 2$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $1.1$ в степень $2$ .

$f'' (1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 2.42 + 2$

Этап 8.2.2

Добавим $- 2.42$ и $2$ .

$f'' (1.1) = - 0.42$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 0.42$ .

$- 0.42$

Этап 8.3

При $1.1$ вторая производная имеет вид $- 0.42$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(1, \infty)$ .

Убывание на $(1, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$ .

$(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$

Этап 10