Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[3]{- 9 x^{2} - 4 x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{- 9 x^{2} - 4 x}$ в виде ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = - 9 x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 9 x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 9 x^{2} - 4 x$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.6.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.6.3

Перенесем ${(- 9 x^{2} - 4 x)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} - 4 x]$

Этап 4.7

По правилу суммы производная $- 9 x^{2} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 4.8

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 4.10

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Этап 4.11

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4 \cdot 1)$

Этап 4.13

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4)$

Этап 4.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}} (- 18 x - 4)$ .

$(- 18 x - 4) \frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14.2

Умножим $- 18 x - 4$ на $\frac{1}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 18 x - 4}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14.3

Вынесем множитель $2$ из $- 18 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18 x$ .

$\frac{2 (- 9 x) - 4}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 (- 9 x) + 2 (- 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 9 x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (- 9 x - 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 x$ .

$\frac{2 (- (9 x) - 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14.5

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (9 x) - 1 (2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (9 x + 2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14.7

Перепишем $- (9 x + 2)$ в виде $- 1 (9 x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (9 x + 2))}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (9 x + 2)}{3 {(- 9 x^{2} - 4 x)}^{\frac{2}{3}}}$