Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{9} (\sqrt{x} - \frac{1}{3} x) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} - \frac{1}{3} x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - \frac{1}{3} x d x$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \int_{0}^{9} x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Этап 7.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $9$ и в $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.6

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.7

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.7.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.8

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.10.1

Сократим общий множитель.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.10.2

Перепишем это выражение.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.12

Умножим $0$ на $- 1$ .

$18 + 0 (\frac{2}{3}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.13

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$18 + 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.14

Добавим $18$ и $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.15

Возведем $9$ в степень $2$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.16

Объединим $\frac{1}{2}$ и $81$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 7.3.17

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 7.3.18

Умножим $0$ на $- 1$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Этап 7.3.19

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0)$

Этап 7.3.20

Добавим $\frac{81}{2}$ и $0$ .

$18 - \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{2}$

Этап 7.3.21

Умножим $\frac{81}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$18 - \frac{81}{2 \cdot 3}$

Этап 7.3.22

Умножим $2$ на $3$ .

$18 - \frac{81}{6}$

Этап 7.3.23

Сократим общий множитель $81$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.23.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$18 - \frac{3 (27)}{6}$

Этап 7.3.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.23.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Этап 7.3.23.2.2

Сократим общий множитель.

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Этап 7.3.23.2.3

Перепишем это выражение.

$18 - \frac{27}{2}$

Этап 7.3.24

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Этап 7.3.25

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Этап 7.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Этап 7.3.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.27.1

Умножим $18$ на $2$ .

$\frac{36 - 27}{2}$

Этап 7.3.27.2

Вычтем $27$ из $36$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$4.5$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{1}{2}$

Этап 9