Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{27} (\sqrt[3]{x} - \frac{1}{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ в $27$ и в $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Этап 7.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $27$ и в $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $81$ .

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.6

Умножим $3$ на $81$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.10

Вычтем $3$ из $243$ .

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.11

Сократим общий множитель $240$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.11.1

Вынесем множитель $4$ из $240$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.1.3.11.2.4

Разделим $60$ на $1$ .

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 7.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $27$ равно $27$ .

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

Этап 7.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

Этап 7.3.3

Разделим $27$ на $1$ .

$60 - \ln (27)$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\ln (27)$ в виде $\ln (3^{3})$ .

$60 - \ln (3^{3})$

Этап 8.2

Развернем $\ln (3^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$60 - (3 \ln (3))$

Этап 8.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$60 - 3 \ln (3)$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$60 - 3 \ln (3)$

Десятичная форма:

$56.70416313 \dots$

Этап 10