Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x (x - 5)}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x \cdot x + x \cdot - 5}$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x \cdot - 5}$

Этап 1.3

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 5 x}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Этап 3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{- 5 x}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x^{2}}}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x}}$

Этап 3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x}}$

Этап 3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 + \frac{- 5}{x}}$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Этап 3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Этап 3.6

Вынесем член $25$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - 25 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Этап 5.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Этап 5.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{1 - 5 \cdot 0}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $- 25$ на $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 - 5 \cdot 0}$

Этап 7.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1 - 5 \cdot 0}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 5$ на $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Этап 7.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 7.3

Разделим $1$ на $1$ .

$1$