Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} = 2 x + y + 15$ ;, $(- 3, 1)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + y + 15)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x + y + 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 + y' + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 3.4

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + y' + 0$

Этап 3.5

Добавим $2 + y'$ и $0$ .

$2 + y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 2 x = 2 + y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' + 2 x - y' = 2$

Этап 5.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' - y' = 2 - 2 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 - 2 x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 - 2 x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ на $2 y - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ на $2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2}{2 y - 1} - \frac{2 x}{2 y - 1}$

Этап 5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 - 2 x}{2 y - 1}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y' = \frac{2 (1) - 2 x}{2 y - 1}$

Этап 5.4.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- x)}{2 y - 1}$

Этап 5.4.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- x)$ .

$y' = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

Этап 7

Заменим $x$ на $- 3$ и $y$ на $1$ в этом выражении.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - (- 3))}{2 (1) - 1}$

Этап 8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{2 (1 + 3)}{2 (1) - 1}$

Этап 8.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1) - 1}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 - 1}$

Этап 8.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{1}$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8}{1}$

Этап 8.3.2

Разделим $8$ на $1$ .

$8$