Математический анализ Примеры

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)} d x$

Этап 4

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} d u$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $u^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{5 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\int u^{- 5} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 5}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ в виде $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{4}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

Этап 7.2.2

Перенесем $4$ влево от $u^{4}$ .

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{4 \sin^{4} (x)} + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим на $1$ .

$- \frac{1}{4 (\sin^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Этап 9.2

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{4} (x)}) + C$

Этап 9.3

Переведем $\frac{1}{\sin^{4} (x)}$ в $\csc^{4} (x)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \csc^{4} (x)) + C$

Этап 9.4

Умножим $4$ на $1$ .

$- (\frac{1}{4} \csc^{4} (x)) + C$

Этап 9.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\csc^{4} (x)$ .

$- \frac{\csc^{4} (x)}{4} + C$

Этап 9.6

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$