Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{2}{x^{2}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{2}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{2}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{2}{x^{2}}$ .

$1 \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Этап 3

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Этап 4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 5.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 5.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 5.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Этап 5.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$x^{2} (- 2 x^{- 3})$

Этап 7

Умножим $x^{2}$ на $x^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $x^{- 3}$ .

$x^{- 3} x^{2} \cdot - 2$

Этап 7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{- 3 + 2} \cdot - 2$

Этап 7.3

Добавим $- 3$ и $2$ .

$x^{- 1} \cdot - 2$

Этап 8

Перенесем $- 2$ влево от $x^{- 1}$ .

$- 2 \cdot x^{- 1}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x}$

Этап 9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x}$

Этап 9.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$