Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{2 x^{2}}}{\cos (x)}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{2 x^{2}}}{\cos (x)}]$ в виде $\frac{d}{d x} [\frac{x \sqrt{2}}{\cos (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок $2$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt{x^{2} \cdot 2}}{\cos (x)}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \sqrt{2}}{\cos (x)}]$

Этап 2

Поскольку $\sqrt{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x \sqrt{2}}{\cos (x)}$ по $x$ равна $\sqrt{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{\cos (x)}]$ .

$\sqrt{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{\cos (x)}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) - x \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) - x (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) + 1 x \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\sqrt{2} \frac{\cos (x) + x \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.3

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{\cos (x) + x \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} (x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x \sqrt{2} \sin (x) + \sqrt{2} \cos (x)}{\cos^{2} (x)}$