Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{k} \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \ln (4)$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 4$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $4$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = k^{2} + 4$

Этап 1.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = k^{2} + 4$

Этап 1.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{2 u} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{k^{2} + 4}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $k^{2} + 4$ и в $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| k^{2} + 4 |) - \ln (| 4 |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})}{2}$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{| 4 |} | k^{2} + 4 |)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{4} | k^{2} + 4 |)$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $| k^{2} + 4 |$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$

Этап 8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$ .

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})}{2}$