Математический анализ Примеры

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{3} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 8$ .

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

Этап 1.2.4

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

Этап 1.3.2

Изменим порядок множителей в $3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

Этап 3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

Этап 4

Умножим $3$ на $4$ .

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

Этап 5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

Этап 6

Вычтем $8$ из $8$ .

$y' (2) = 12 e^{0}$

Этап 7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$y' (2) = 12 \cdot 1$

Этап 8

Умножим $12$ на $1$ .

$y' (2) = 12$