Математический анализ Примеры

$3 \sum_{p = 3}^{8} 5 - p$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $p$ было равно $1$ .

$3 \sum_{p = 3}^{8} 5 - p = 3 (\sum_{p = 1}^{8} 5 - p - \sum_{p = 1}^{2} 5 - p)$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{p = 1}^{8} 5 - p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{p = 1}^{8} 5 - p = \sum_{p = 1}^{8} 5 - 1 \sum_{p = 1}^{8} p$

Этап 2.2

Найдем значение $\sum_{p = 1}^{8} 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2.2

Подставим значения в формулу.

$(5) (8)$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $8$ .

$40$

Этап 2.3

Найдем значение $1 \sum_{p = 1}^{8} p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 1) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Добавим $8$ и $1$ .

$- 1 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $8$ на $9$ .

$- 1 (\frac{72}{2})$

Этап 2.3.3.3

Разделим $72$ на $2$ .

$- 1 \cdot 36$

Этап 2.3.3.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$- 36$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$40 - 36$

Этап 2.5

Вычтем $36$ из $40$ .

$4$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{p = 1}^{2} 5 - p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $p$ .

$5 - 1 + 5 - 2$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$4 + 5 - 2$

Этап 3.2.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$4 + 3$

Этап 3.2.3

Добавим $4$ и $3$ .

$7$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$3 (4 - 7)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $7$ из $4$ .

$3 \cdot - 3$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 9$