Математический анализ Примеры

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{x - b}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $b$ .

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $10$ в выражении ${(x - b)}^{10}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $b$ , который является константой по мере приближения $x$ к $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - lim_{x \to b} 4 x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.6

Найдем предел $4 b$ , который является константой по мере приближения $x$ к $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $b$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $b$ для $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{10} - 4 lim_{x \to b} x + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $b$ для $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{10} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Объединим противоположные члены в ${(b - b)}^{10} - 4 b + 4 b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1.1

Вычтем $b$ из $b$ .

$\frac{0^{10} - 4 b + 4 b}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.8.1.2

Добавим $- 4 b$ и $4 b$ .

$\frac{0^{10} + 0}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.8.1.3

Добавим $0^{10}$ и $0$ .

$\frac{0^{10}}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.2.8.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $b$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $b$ , который является константой по мере приближения $x$ к $b$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $b$ для $x$ .

$\frac{0}{b - b}$

Этап 1.1.3.3

Вычтем $b$ из $b$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b}{x - b} = lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная ${(x - b)}^{10} - 4 x + 4 b$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{10}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{10}$ и $g (x) = x - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 u^{9} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.3.2

По правилу суммы производная $x - b$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $- b$ является константой относительно $x$ , производная $- b$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.3.6

Умножим $10$ на $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 + \frac{d}{d x} [4 b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $4 b$ является константой относительно $x$ , производная $4 b$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.6

Добавим $10 {(x - b)}^{9} - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x - b$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- b]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- b$ является константой относительно $x$ , производная $- b$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{10 {(x - b)}^{9} - 4}{1}$

Этап 1.4

Разделим $10 {(x - b)}^{9} - 4$ на $1$ .

$lim_{x \to b} 10 {(x - b)}^{9} - 4$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $b$ .

$lim_{x \to b} 10 {(x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

Этап 2.2

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$10 lim_{x \to b} {(x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

Этап 2.3

Вынесем степень $9$ в выражении ${(x - b)}^{9}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $b$ .

$10 {(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

Этап 2.5

Найдем предел $b$ , который является константой по мере приближения $x$ к $b$ .

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - lim_{x \to b} 4$

Этап 2.6

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $b$ .

$10 {(lim_{x \to b} x - b)}^{9} - 1 \cdot 4$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $b$ для $x$ .

$10 {(b - b)}^{9} - 1 \cdot 4$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $b$ из $b$ .

$10 \cdot 0^{9} - 1 \cdot 4$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$10 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

Этап 4.2.2

Умножим $10$ на $0$ .

$0 - 1 \cdot 4$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$0 - 4$

Этап 4.3

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$