Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2}$ , $[0, 3]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 3]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} x^{2} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $3$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Этап 6.2.5

Умножим $0$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 + 0 (\frac{1}{3}))$

Этап 6.2.6

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9 + 0)$

Этап 6.2.7

Добавим $9$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (9)$

Этап 7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 9$

Этап 7.2

Добавим $3$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 9$

Этап 8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (3))$

Этап 8.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3)$

Этап 8.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = 3$

Этап 9