Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + x + 2$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{1}{2}) = {(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} + 2$

Этап 3.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

Этап 3.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - \frac{1}{2} + 2$

Этап 3.2.2.3

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

Этап 3.2.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} + 2$

Этап 3.2.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2$

Этап 3.2.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Этап 3.2.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 2$

Этап 3.2.3.3

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1}$

Этап 3.2.3.4

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.2.3.5

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 + 8}{4}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 8}{4}$

Этап 3.2.5.3

Добавим $- 1$ и $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{7}{4}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{1}{2}, \frac{7}{4})$

Этап 5