Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{x^{3} + 1}$

Этап 1

Перепишем $x^{3}$ в виде ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{{(x^{3})}^{1} + 1} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Тогда $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{u_{1} + 1}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

Этап 3.3

Перенесем $3$ влево от $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{3 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Этап 5

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 8

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Этап 8.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 1 |) + C$