Математический анализ Примеры

$\int 4 x e^{2 x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = 4 x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$4 x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$4 x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Этап 2.2

Объединим $4$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x \frac{4 e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Этап 2.3

Объединим $x$ и $\frac{4 e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x (4 e^{2 x})}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $x (4 e^{2 x})$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 (1)} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 \cdot 1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (2 e^{2 x})}{1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Этап 2.4.2.4

Разделим $x (2 e^{2 x})$ на $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2} \cdot 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2} \cdot 4$ из-под знака интеграла.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{2 x} d x)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{2 x} d x)$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{2 x} d x)$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2}{1} \int e^{2 x} d x)$

Этап 4.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - (2 \int e^{2 x} d x)$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{2 x} d x$

Этап 5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x (2 e^{2 x}) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Этап 8.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int e^{u} d u$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$

Этап 10

Перепишем $x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$ в виде $2 x e^{2 x} - e^{u} + C$ .

$2 x e^{2 x} - e^{u} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$