Математический анализ Примеры

$y = x y^{2} + 4 x - y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x - y)$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x y^{2} + 4 x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - y'$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' = y'$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' - y' = 0$

Этап 5.2.2

Вычтем $y'$ из $- y'$ .

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - 2 y' = 0$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x y y' + 4 - 2 y' = - y^{2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2 x y y' - 2 y' = - y^{2} - 4$

Этап 5.4

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x y y' - 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x y y'$ .

$2 y' (x y) - 2 y' = - y^{2} - 4$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 2 y'$ .

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1 = - y^{2} - 4$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$

Этап 5.5

Разделим каждый член $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ на $2 (x y - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ на $2 (x y - 1)$ .

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $x y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 2}{x y - 1}$

Этап 5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1}$

Этап 5.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{2}{x y - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (x y - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Умножим $\frac{2}{x y - 1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2}$

Этап 5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x y - 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 4}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 4}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3.7

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (4)}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2}) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.9.1

Перепишем $- (y^{2} + 4)$ в виде $- 1 (y^{2} + 4)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Этап 5.5.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$