Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 4}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2} + 4}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{2} + 4}{x} d x$

Этап 4

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{x^{2}}{x} + \frac{4}{x} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{x}{1} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 6.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\int x d x + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4}{x} d x$

Этап 8

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 (\ln (| x |) + C)$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 \ln (| x |) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + 4 \ln (| x |) + C$