Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{- x}}{x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$\frac{(x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x + 1) e^{- x} \cdot - 1 - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $(x + 1) e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot ((x + 1) e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Перепишем $- 1 (x + 1)$ в виде $- (x + 1)$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.7.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- x - 1 \cdot 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- x e^{- x} - 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{- x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Вычтем $e^{- x}$ из $- e^{- x}$ .

$\frac{- x e^{- x} - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{- x} x - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- e^{- x} x$ .

$\frac{e^{- x} (- x) - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- 2 e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2$ .

$\frac{e^{- x} (- x - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{e^{- x} (- (x) - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.7

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x) - 1 (2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.9

Перепишем $- (x + 2)$ в виде $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{- x} (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$