Математический анализ Примеры

$y = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{4 π}{3}$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (\frac{4 π x}{3})]$

Этап 1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (\frac{4 π x}{3})$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $\frac{4 π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 π x}{3}$ по $x$ равна $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (\frac{4 π x}{3}) (\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $\frac{4 π}{3}$ и $4$ .

$\frac{4 π \cdot 4}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 π}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2.3

Объединим $\frac{16 π}{3}$ и $\cos (\frac{4 π x}{3})$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot 1$

Этап 1.3.4

Умножим $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ на $1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{16 π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ по $x$ равна $\frac{16 π}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{4 π x}{3})]$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{4 π x}{3}))$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{4 π x}{3}))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{16 π}{3}$ и $\sin (\frac{4 π x}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3}$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 π (16 π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.3.2

Умножим $16$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π (π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.5

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{64 π^{1 + 1} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.7.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot 1$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ на $16 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ на $16 π$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

Этап 5.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

Этап 5.1.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

Этап 5.1.2.2.2

Разделим $\cos (\frac{4 π x}{3})$ на $1$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{16 π}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $0$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 π}$

Этап 5.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $16$ из $16 π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 (π)}$

Этап 5.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 \cdot 0}{16 π}$

Этап 5.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{π}$

Этап 5.1.3.2

Разделим $0$ на $π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 5.4

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Упростим $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.5.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.5.1.1.2

Сократим общий множитель $4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $4 π$ из $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Упростим $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.5.2.1.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Этап 5.5.2.1.3

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{3}{8}$

Этап 5.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Упростим $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4 π$ из $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Упростим $\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 5.7.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.4.1.2

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.4.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.4.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 5.7.2.2.1.4.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{3}{2}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Этап 5.7.2.2.1.4.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.4.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{9}{4 \cdot 2}$

Этап 5.7.2.2.1.4.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{9}{8}$

Этап 5.8

Решение уравнения $\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3}{8}, \frac{9}{8}$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = \frac{3}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{3}{8})}{3})}{9}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{3}{8}$ и $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

Этап 7.1.2

Объединим $\frac{3 \cdot 4}{8}$ и $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

Этап 7.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{12 π}{8}}{3})}{9}$

Этап 7.2.2

Сократим выражение $\frac{12 π}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{8}}{3})}{9}$

Этап 7.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

Этап 7.2.2.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

Этап 7.2.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{9}$

Этап 7.3.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot 1}{9}$

Этап 7.3.4

Умножим $64$ на $1$ .

$- \frac{64 π^{2}}{9}$

Этап 8

$x = \frac{3}{8}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3}{8}$ — локальный максимум

Этап 9

Найдем значение y, если $x = \frac{3}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{8}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{3}{8}))$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 π$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{8})$

Этап 9.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{4 (2)})$

Этап 9.2.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2})$

Этап 9.2.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

Этап 9.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{1}{2})$

Этап 9.2.3

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 9.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \cdot 1$

Этап 9.2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4$

Этап 9.2.6

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = \frac{9}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{9}{8})}{3})}{9}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $\frac{9}{8}$ и $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

Этап 11.1.2

Объединим $\frac{9 \cdot 4}{8}$ и $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

Этап 11.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $9$ на $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{36 π}{8}}{3})}{9}$

Этап 11.2.2

Сократим выражение $\frac{36 π}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $36 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{8}}{3})}{9}$

Этап 11.2.2.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

Этап 11.2.2.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

Этап 11.2.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 11.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Этап 11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

Этап 11.3.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \frac{64 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

Этап 11.3.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{64 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Этап 11.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Этап 11.3.6

Умножим $- 1$ на $64$ .

$- \frac{- 64 π^{2}}{9}$

Этап 11.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{64 π^{2}}{9}$

Этап 11.5

Умножим $- - \frac{64 π^{2}}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{64 π^{2}}{9}$

Этап 11.5.2

Умножим $\frac{64 π^{2}}{9}$ на $1$ .

$\frac{64 π^{2}}{9}$

Этап 12

$x = \frac{9}{8}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{9}{8}$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = \frac{9}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9}{8}$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{9}{8}))$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{8})$

Этап 13.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{4 (2)})$

Этап 13.2.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{9}{4 \cdot 2})$

Этап 13.2.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{9}{2})$

Этап 13.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (3)}{2})$

Этап 13.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2})$

Этап 13.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{3}{2})$

Этап 13.2.3

Объединим $π$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Этап 13.2.4

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Этап 13.2.5

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 13.2.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 13.2.7

Умножим $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \cdot - 1$

Этап 13.2.7.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{9}{8}) = - 4$

Этап 13.2.8

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 14

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$ .

$(\frac{3}{8}, 4)$ — локальный максимум

$(\frac{9}{8}, - 4)$ — локальный минимум

Этап 15