Математический анализ Примеры

$y = 5 \sqrt[3]{- 9 x - 1}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{- 9 x - 1}$ в виде ${(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = 5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [{(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = - 9 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 9 x - 1$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 9 x - 1$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{{(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.7.3

Перенесем ${(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Этап 4.7.4

Объединим $\frac{1}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $5$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1]$

Этап 4.8

По правилу суммы производная $- 9 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.9

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.11

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 + 0)$

Этап 4.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Добавим $- 9$ и $0$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 9$

Этап 4.13.2

Объединим $\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $- 9$ .

$\frac{5 \cdot - 9}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.13.3

Умножим $5$ на $- 9$ .

$\frac{- 45}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.13.4

Вынесем множитель $3$ из $- 45$ .

$\frac{3 \cdot - 15}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 15}{3 ({(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Этап 4.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 15}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$