Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} d x$

Этап 1

Разделим $x^{2} - 1$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	-	$1$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$
								$0$

Этап 1.11

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$\int_{1}^{2} x - 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ и $- x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} - x$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.7

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1)$

Этап 5.2.2.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 5.2.2.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Этап 5.2.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 - \frac{1 - 2}{2}$

Этап 5.2.2.12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$0 - \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - - \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 5.2.2.15

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.16

Добавим $0$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$

Этап 7