Математический анализ Примеры

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2}$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $p$ было равно $1$ .

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2} = \sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} - \sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} = - 9 \sum_{p = 1}^{8} p + \sum_{p = 1}^{8} p^{2}$

Этап 2.2

Найдем значение $9 \sum_{p = 1}^{8} p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 9) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $8$ и $1$ .

$- 9 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $8$ на $9$ .

$- 9 (\frac{72}{2})$

Этап 2.2.3.3

Разделим $72$ на $2$ .

$- 9 \cdot 36$

Этап 2.2.3.4

Умножим $- 9$ на $36$ .

$- 324$

Этап 2.3

Найдем значение $\sum_{p = 1}^{8} p^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.3.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $8$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Этап 2.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Этап 2.3.3.2.2

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Этап 2.3.3.2.4

Добавим $16$ и $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Этап 2.3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Умножим $36$ на $17$ .

$\frac{612}{3}$

Этап 2.3.3.3.2

Разделим $612$ на $3$ .

$204$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$- 324 + 204$

Этап 2.5

Добавим $- 324$ и $204$ .

$- 120$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $p$ .

$- 9 \cdot 1 + 1^{2}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 9 + 1^{2}$

Этап 3.2.2

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 9 + 1$

Этап 3.2.3

Добавим $- 9$ и $1$ .

$- 8$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$- 120 + 8$

Этап 5

Добавим $- 120$ и $8$ .

$- 112$