Математический анализ Примеры

$\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Этап 1

Запишем $\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Этап 5

Пусть $u = 1 - x^{3}$ . Тогда $d u = - 3 x^{2} d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 - x^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{3}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Этап 5.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Этап 5.1.4

Вычтем $3 x^{2}$ из $0$ .

$- 3 x^{2}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$9 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Этап 6.3

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{u}$ .

$9 \int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$9 (- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u)$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- 9 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 9$ .

$\frac{- 9}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 10.1.2

Сократим общий множитель $- 9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 10.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 10.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 10.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 10.1.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 10.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 10.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 10.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 10.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- 3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 10.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем $- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 12.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{3}$ .

$- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$