Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$

Этап 1

Составим полный квадрат для $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{2}$

Этап 1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Этап 1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Этап 2

Подставим ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ вместо $x^{2} + x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} - 4 y = 60$

Этап 3

Перенесем $- \frac{1}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{1}{4}$ к обеим частям.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - 4 y = 60 + \frac{1}{4}$

Этап 4

Составим полный квадрат для $y^{2} - 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Этап 4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 4.3.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 4)}^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.1.4

Умножим $4^{2}$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 4.4.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 4.4.2.1.1.6.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 2)}^{2} - 4$ .

${(y - 2)}^{2} - 4$

Этап 5

Подставим ${(y - 2)}^{2} - 4$ вместо $y^{2} - 4 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + x - 4 y = 60$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 4 = 60 + \frac{1}{4}$

Этап 6

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 60 + \frac{1}{4} + 4$

Этап 7

Упростим $60 + \frac{1}{4} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Запишем $60$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60}{1} + \frac{1}{4} + 4$

Этап 7.1.2

Умножим $\frac{60}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 4$

Этап 7.1.3

Умножим $\frac{60}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + 4$

Этап 7.1.4

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{1}$

Этап 7.1.5

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.1.6

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{60 \cdot 4 + 1 + 4 \cdot 4}{4}$

Этап 7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $60$ на $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{240 + 1 + 4 \cdot 4}{4}$

Этап 7.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{240 + 1 + 16}{4}$

Этап 7.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Добавим $240$ и $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{241 + 16}{4}$

Этап 7.4.2

Добавим $241$ и $16$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{257}{4}$

Этап 8

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 9

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = \frac{\sqrt{257}}{2}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 2$

Этап 10

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Этап 11

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Радиус: $\frac{\sqrt{257}}{2}$

Этап 12