Математический анализ Примеры

$(1 - x) y^{1} = y^{2}$

Этап 1

Упростим.

$(1 - x) y = y^{2}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} ((1 - x) y) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = 1 - x$ и $g (y) = y$ .

$(1 - x) \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 - x) \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Этап 3.2.2

Умножим $1 - x$ на $1$ .

$1 - x + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $1 - x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$1 - x + y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x])$

Этап 3.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 - x + y (0 + \frac{d}{d y} [- x])$

Этап 3.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- x]$ .

$1 - x + y \frac{d}{d y} [- x]$

Этап 3.2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$1 - x + y (- \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$1 - x + y (- x')$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$- y x' - x + 1$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- y x' - x + 1 = 2 y$

Этап 6

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$- y x' + 1 = 2 y + x$

Этап 6.1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y x' = 2 y + x - 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- y x' = 2 y + x - 1$ на $- y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- y x' = 2 y + x - 1$ на $- y$ .

$\frac{- y x'}{- y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y x'}{y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x'}{y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Этап 6.2.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Этап 6.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{2}{- 1} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Этап 6.2.3.1.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2}{- 1}$ .

$x' = - 1 \cdot 2 + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x' = - 2 + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Этап 6.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{- 1}{- y}$

Этап 6.2.3.1.4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x' = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$

Этап 7

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$