Математический анализ Примеры

$y = \frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{5}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{8} x$ по $x$ равна $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5}{8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Этап 1.2.3

Умножим $\frac{5}{8}$ на $1$ .

$\frac{5}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Этап 1.3

Поскольку $\frac{2}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{9}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- \frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{6} x^{- 3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Этап 1.4.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{5}{8} + 0 + 3 (\frac{1}{6}) x^{- 4}$

Этап 1.4.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6} x^{- 4}$

Этап 1.4.5

Объединим $\frac{3}{6}$ и $x^{- 4}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 x^{- 4}}{6}$

Этап 1.4.6

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6 x^{4}}$

Этап 1.4.7

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{6 x^{4}}$

Этап 1.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{4}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{3 (2 x^{4})}$

Этап 1.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{4})}$

Этап 1.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{1}{2 x^{4}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $\frac{5}{8}$ и $0$ .

$\frac{5}{8} + \frac{1}{2 x^{4}}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 x^{4}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.8

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.9

Объединим $\frac{- 4}{2}$ и $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.10

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.11

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{5}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{8}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{2}{x^{5}} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- \frac{2}{x^{5}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{5}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{x^{5}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 5$ .

$- 2 (- 5 x^{- 6})$

Этап 3.4

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$10 x^{- 6}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{x^{6}}$

Этап 3.5.2

Объединим $10$ и $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = \frac{10}{x^{6}}$