Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{\sqrt{2 x^{2} - x + 1}}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{- 1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

Этап 7.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 + 0 + 0}}$

Этап 7.2.2

Добавим $2 + 0$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 + 0}}$

Этап 7.2.3

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 7.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 7.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 7.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 7.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$