Математический анализ Примеры

$y = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (- \frac{x}{2})$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 (- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 (\sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Этап 1.3.2

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (- \frac{x}{2}) (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (- \frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.3

Объединим $\frac{- 2}{2}$ и $\sin (- \frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \sin (- \frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (- \frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sin (- \frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3.4.2.4

Разделим $- \sin (- \frac{x}{2})$ на $1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2}) \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Так как $\sin (- \frac{x}{2})$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- \frac{x}{2})$ в виде $- \sin (\frac{x}{2})$ .

$- - \sin (\frac{x}{2})$

Этап 1.4.2

Умножим $- - \sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sin (\frac{x}{2})$

Этап 1.4.2.2

Умножим $\sin (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{x}{2})$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Этап 4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Этап 6

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Этап 8.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (π - 0)$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = 2 π$

Этап 9

Решение уравнения $\frac{x}{2} = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{\cos (\frac{0}{2})}{2}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{\cos (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

Этап 11.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Этап 11.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Этап 11.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (\frac{0}{1})}{2}$

Этап 11.1.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{\cos (0)}{2}$

Этап 11.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 12

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (- \frac{0}{2})$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Разделим $0$ на $2$ .

$f (0) = - 2 \cos (- 0)$

Этап 13.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Этап 13.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Этап 13.2.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (0) = - 2$

Этап 13.2.5

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 14

Найдем вторую производную в $x = 2 π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Этап 15.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$\frac{\cos (π)}{2}$

Этап 15.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{- \cos (0)}{2}$

Этап 15.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Этап 15.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 15.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 16

$x = 2 π$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2 π$ — локальный максимум

Этап 17

Найдем значение y, если $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

Этап 17.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

Этап 17.2.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (- π)$

Этап 17.2.2

$f (2 π) = - 2 (- \cos (0))$

Этап 17.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2 π) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 17.2.4

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (2 π) = - 2 \cdot - 1$

Этап 17.2.4.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (2 π) = 2$

Этап 17.2.5

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 18

Это локальные экстремумы $f (x) = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$ .

$(0, - 2)$ — локальный минимум

$(2 π, 2)$ — локальный максимум

Этап 19