Математический анализ Примеры

$\int - e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

Этап 1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = 4 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- 2 \csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \csc (2 x)]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \csc (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.3.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 2 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Этап 2.1.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.5.1

Умножим $4$ на $1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Этап 2.1.4.5.2

Изменим порядок множителей в $4 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$4 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Этап 3

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 5

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 6

Упростим.

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 \csc (2 x)$ .

$- \frac{1}{4} e^{- 2 \csc (2 x)} + C$