Математический анализ Примеры

$y' = x + y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d y}{d x} = x + y$

Этап 2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - y = x$

Этап 3

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 1 d x}$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- x + C}$

Этап 3.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x}$

Этап 4

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член на $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} x$

Этап 4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x e^{- x}$

Этап 5

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x e^{- x}$

Этап 6

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x e^{- x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x} y = \int x e^{- x} d x$

Этап 8

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Этап 8.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Этап 8.3.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Этап 8.4

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 8.4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 8.4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 8.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Этап 8.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Этап 8.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{- x} y = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Этап 8.7

Перепишем $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ в виде $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{u} + C$

Этап 8.8

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$

Этап 9

Разделим каждый член $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ на $e^{- x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $e^{- x} y = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ на $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 9.3.1.1.2

Разделим $- x$ на $1$ .

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = - x + \frac{- e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 9.3.1.2.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y = - x - 1 + \frac{C}{e^{- x}}$