Математический анализ Примеры

$\int 8 \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \cos (θ) \cos^{5} (\sin (θ)) d θ$

Этап 2

Пусть $u_{1} = \sin (θ)$ . Тогда $d u_{1} = \cos (θ) d θ$ , следовательно $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{1} = d θ$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = \sin (θ)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$8 \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 3

Вынесем $\cos^{4} (u_{1})$ за скобки.

$8 \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$8 \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4.2

Перепишем ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$8 \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (u_{1})$ в виде $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$8 \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Этап 6.1.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$8 \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Этап 7

Развернем ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ в виде $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$8 \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Этап 7.5

Перенесем ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Этап 7.6

Перенесем ${u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.7

Умножим $1$ на $1$ .

$8 \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.11

Умножим ${u_{2}}^{2}$ на $1$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Этап 7.13

Добавим $2$ и $2$ .

$8 \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Этап 7.14

Вычтем ${u_{2}}^{2}$ из $- {u_{2}}^{2}$ .

$8 \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Этап 7.15

Изменим порядок $- 2 {u_{2}}^{2}$ и ${u_{2}}^{4}$ .

$8 \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.16

Перенесем $1$ .

$8 \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$8 (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Этап 9

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{4}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Этап 10

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Этап 11

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${u_{2}}^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Этап 13.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и ${u_{2}}^{5}$ .

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Этап 13.2

Упростим.

$8 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (u_{1})$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (θ)$ .

$8 (\frac{\sin^{5} (\sin (θ))}{5} - \frac{2 \sin^{3} (\sin (θ))}{3} + \sin (\sin (θ))) + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$8 (\frac{1}{5} \sin^{5} (\sin (θ)) - \frac{2}{3} \sin^{3} (\sin (θ)) + \sin (\sin (θ))) + C$